FPB DAN FPK

Faktor persekutuan terbesar

Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.

Dalam bahasa Inggris FPB dikenal dengan Greatest Common Divisor (GCD), sering djiuga disebut sebagai Greatest Common Factor (GCF) atau Highest Common Factor (HCF),

Contoh

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara sederhana

Mencari FPB dari 12 dan 20:

• Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
• Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
• FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Cara faktorial

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

• Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

             147         189             231
            /\          /\              /\
           3 49        3  63           3  77
             /\           /\              /\
            7  7         7  9            7  11
                            /\
                           3  3

• Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:

Faktorial 147 = 3¹ x 7²

Faktorial 189 = 3³ x 7¹

Faktorial 231 = 3¹ x 7¹ x 11¹

• Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.

• Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 3¹ x 7¹ = 21.

• Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.

Algoritma Euklidean

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritma Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritma Eucliden adalah sebagai berikut:

• a₁ = maximum(a,b)-minimum(a,b)

b₁ = minimum(a,b)

• a₂ = maximum(a₁,b₁)-minimum(a₁,b₁)

b₂ = minimum(a₁,b₁)

.

.

.

• a_i = maximum(a_i-1,b_i-1)-minimum(a_i-1,b_i-1)

b_i = minimum(a_i-1,b_i-1)

Algoritma tersebut berhenti hingga diperoleh a_i = b_i

FPB dari a dan b adalah a_i = b_i

Kelipatan persekutuan terkecil

Dalam aritmetika dan teori bilangan, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan itu.

Dalam bahasa Inggris KPK dikenal dengan Least Common Multiple (LCM), sering djiuga disebut sebagai Lowest Common Multiple (LCM) atau Smallest Common Multiple (SCM),

Contoh

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari KPK dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara sederhana

Mencari KPK dari 12 dan 20:

• Kelipatan dari 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 71, 84, ...
• Kelipatan dari 20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, ...
• KPK dari 12 dan 20 adalah kelipatan sekutu (sama) yang terkecil, yaitu 60.

Cara faktorial

Mencari KPK dari bilangan 147, 189 dan 231:

• Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

             147         189             231
            /\          /\              /\
           3 49        3  63           3  77
             /\           /\              /\
            7  7         7  9            7  11
                            /\
                           3  3

• Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:

Faktorial 147 = 3¹ x 7²

Faktorial 189 = 3³ x 7¹

Faktorial 231 = 3¹ x 7¹ x 11¹

• Ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini 3³, 7² dan 11¹.

• Kalikan faktor-faktor tesebut: 3³ x 7² x 11¹ = 14553.

• Maka KPK dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 14553. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 14553 yang dapat dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231.